Question

如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．

(1)求证：AC=AD+CE；

(2)若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；

(i)当点P与A，B两点不重合时，求的值；

(ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)

 

Answer

(1)证明见解析；(2)(i)；(ii)线段DQ的中点所经过的路径(线段)长为.

【解析】

(1)根据同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角边”证明△ABD和△CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；

(2)(i)过点Q作QF⊥BC于F，根据△BFQ和△BCE相似可得，然后求出QF=BF，再根据△ADP和△FPQ相似可得，然后整理得到(AP-BF)(5-AP)=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得，从而得解；

(ii)判断出DQ的中点的路径为△BDQ的中位线MN．求出QF、BF的长度，利用勾股定理求出BQ的长度，再根据中位线性质求出MN的长度，即所求之路径长．

(1)如图，∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，

∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，∴∠1=∠E，

∵在△ABD和△CEB中，∠1=∠E，∠A=∠C=90°，AD=BC，

∴△ABD≌△CEB(AAS)，∴AB=CE，

∴AC=AB+BC=AD+CE；

(2)(i)如图，过点Q作QF⊥BC于F，则△BFQ∽△BCE，

∴，

即，

∴QF=BF，

∵DP⊥PQ，

∴∠ADP+∠FPQ=180°-90°=90°，

∵∠FPQ+∠PQF=180°-90°=90°，

∴∠ADP=∠FPQ，

又∵∠A=∠PFQ=90°，

∴△ADP∽△FPQ，

∴，

即，

∴5AP-AP2+AP•BF=3•BF，

整理得，(AP-BF)(AP-5)=0，

∵点P与A，B两点不重合，

∴AP≠5，

∴AP=BF，

由△ADP∽△FPQ得，，

∴；

(ii)线段DQ的中点所经过的路径(线段)就是△BDQ的中位线MN，

由(2)(i)可知，QF=AP，

当点P运动至AC中点时，AP=4，∴QF=，

∴BF=QF×=4，

在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ==，

∴MN=BQ=．