Question

在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．

（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

Answer

（1）见解析（2）1：

【解析】【解析】
（1）证明：如图1，

在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，

∴∠CAD=∠B=90°－∠ACB。

∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC。

∵点E为AB的中点，∴AB=2BE。∴AC=BE。

在△ACD与△BEF中，∵，∴△ACD≌△BEF（AAS）。

∴CD=EF，即EF=CD。

（2）如图2，

作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，

∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，

∴四边形EQDH是矩形。∴∠QEH=90°。

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG。，

又∵∠EQF=∠EHG=90°，

∴△EFQ∽△EGH。∴EF：EG=EQ：EH。

∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°。

在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴。∴EQ=BE。

在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴。∴EH=AE。

∵点E为AB的中点，∴BE=AE，

∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：。

（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD。

（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值。