Question

已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：

(1)△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；

(2)在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

(3)在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

Answer

(1)t=5;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

(1)根据等腰三角形性质求出即可；(2)①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案；(3)分为三种情况，①∠PQE=90°，②∠PEQ=90°，③∠EPQ=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解，看是否满足小于10即可．

(1)当D在AC上时，

∵DE=DF，

∴EC=CF=EF=5，

∴t=5．

(2)存在．

∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，

∴∠CQE=45°=∠DEF，

∴CQ=CE=t，

AQ=8﹣t，

当0≤t＜5时，

①AP=AQ，

t=8﹣t，

∴t=4；

②AP=PQ，

作PH⊥AC于H，

AH=HQ=AQ=4﹣t，

∵PH∥BC，

∴△APH∽△ABC，

∴，

∴，

∴t=；

③AQ=PQ，

作QI⊥AB于I，

AI=PI=AP=t（等腰三角形的性质三线合一），

∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，

∴△AIQ∽△ACB，

∴，

∴，

∴t=，

④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，连接PQ，

同理可求出：

FC=QC=10﹣t，BP=10﹣t，

PH=（10﹣t）=8﹣t，

BH=（10﹣t）=6﹣t，

QG=QC﹣GC=QC﹣PH=10﹣t﹣（8﹣t）=2﹣，

PG=HC=6﹣（6﹣t）=t，

PQ=AQ=8﹣（10﹣t）=t﹣2，

∴PQ 2=PG 2+QG 2，

（t﹣2）2=（t） 2+（2﹣） 2，

解得：t=秒，

其它情况不符合要求，

综合上述：当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形．

(3)作PW⊥AC于W，PH⊥BC于H，

由勾股定理：CE=CQ=t，

∵sinA===，cosA===，

∴PW=t，AW=t，

∴QW=8﹣t﹣t=8﹣t，

∴PQ2=PM2+QW2=（t）2+（8﹣t）2=t2﹣t+64，

PE2=PH2+EH2=（t+8﹣t）2+（t﹣t）2=t2﹣t+64，

QE2=2t2

①∠PQE=90°，

在Rt△PEQ中

PQ2+QE2=PE2，

即t2﹣t+64+2t2=t2﹣t+64，

解得：t1=0（舍去），t2=；

②∠PEQ=90°，

PE2+EQ2=PQ2

即t2﹣t+64+2t2=t2﹣t+64，

解得：t1=0（舍去），t2=20（舍去）

∴此时不存在；

③当∠EPQ=90°时

PQ2+PE2=EQ2，

即t2﹣t+64+t2﹣t+64=2t2，

t1=（舍去），t2=4，

综合上述：当t=或t=4时，△PQE是直角三角形．