Question

如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8．D、E分别是AC、BC边的中点，点P从A出发沿线段AD﹣DE﹣EB以每秒3个单位长的速度向B匀速运动；点Q从点A出发沿射线AB以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P与点B重合时停止运动，点Q也随之停止运动，设点P、Q运动时间是t秒，（t＞0）

（1）当t＝　   　时，点P到达终点B；

（2）当点P运动到点D时，求△BPQ的面积；

（3）设△BPQ的面积为S，求出点Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式；

（4）请直接写出PQ∥DB时t的值．

Answer

（1）4秒；（2）；（3）Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S＝，（4）

【解析】

（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分别是AC，BC的中点，求出AD、DE、BE，从而求出t；

（2）先求出当点P运动到点D时所用时间，得出AQ的长，即可求出BQ的长，再根据△BPQ的面积=BQ•AP进行计算即可；

（3）由已知用t表示出AQ、AP、BQ，再由∠A=90°，通过面积公式求出S与t的函数关系式；

（4）通过假设，分两种情况讨论即可求解．

（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，

由勾股定理得：BC＝＝＝10，

又由D，E分别是AC，BC的中点，

∴AD＝4，DE＝3，BE＝5，

∴当点P到达终点B时所用时间t＝（4+3+5）÷3＝4（秒），

答t的值为4秒．

（2）当点P运动到点D时，所用时间为秒，

所以AQ＝×2＝，

∴BQ＝6﹣＝，

∴△BPQ的面积＝BQ•AP＝×4＝；

（3）①如图，当点P在AD上（不包含D点），

由已知得：AQ＝2t，AP＝3t，

∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣2t，

已知∠A＝90°，

∴△BPQ的面积S＝BQ•AP＝（6﹣2t）•3t＝﹣3t2+9t，

所以Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S＝﹣3t2+9t；

②如图当点P在DE（包括点D、E）上，

过点P作PF⊥AB于F，

则PF＝AD＝4，

∴△BPQ的面积S＝BQ•PF＝（6﹣2t）•4＝12﹣4t，

所以此时Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S＝12﹣4t；

③当点P在BE上（不包括E点），

由已知得：BP＝3+4+5﹣3t＝12﹣3t，

过点P作PF⊥AB于F，

∴PF∥AC，

∴△BPF∽△BCA，

∴，

∴，

∴PF＝，

∴△BPQ的面积S＝BQ•PF＝（6﹣2t）•＝，，

所以Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S＝，，

（4）若PQ∥DB，则点P、Q必在DB同侧．分两种情况：

①当点Q在AB上，点P在AD上时，

假设PQ∥DB成立，

则△AQP∽△ABD，

∴，

∴，

此时方程的解是t＝0，但此解不符合题意，

则PQ∥DB不成立，

②当3＜t＜4时，点Q在AB延长线上，点P在EB上，

此时PB＝12﹣3t，PE＝3t﹣7，BQ＝2t﹣6．

若PQ∥DB，设直线PQ交DE与N，

∵DE∥AB，

∴△PEN∽△PBQ，

∴EN：BQ＝PE：PB，

则EN＝；

又∵NQ∥DB，

∴EN：ED＝EP：EB，

则EN＝，

所以＝，

解得t＝符合题意．

综上所述，当t＝时，PQ∥DB．