Question

在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，E为CB延长线上一点，点F在AB上，且AE=CF．

（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）若∠CAE=60°，求∠ACF的度数．

Answer

（1）Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）∠ACF=30°．

【解析】

试题（1）在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）由等腰直角三角形的性质易求∠BAE=∠CAE﹣∠CAB=15°．利用（1）中全等三角形的对应角相等得到∠BAE=∠BCF=15°，则∠ACF=∠ACB﹣∠BCF=30°．即∠ACF的度数是30°．

（1）证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，

∵，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；

（2）如图，∵在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，

∴∠ACB=∠CAB=45°，

∴∠BAE=∠CAE﹣∠CAB=15°．

又由（1）知，Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BAE=∠BCF=15°，

∴∠ACF=∠ACB﹣∠BCF=30°．即∠ACF的度数是30°．