Question

如图，已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）直接写出点C和点D的坐标；

（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S_△ABP＝4S_△COE，求P点坐标．注：二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为.

Answer

（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）D（1，4）；（3）P（2，3）

【解析】

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的解析式；
（2）C点是抛物线与y轴的交点，令x=0，可得C点坐标，D点是顶点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点D的坐标；
（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得P点坐标．

【解析】
（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）令x＝0，则y＝3，

∴C（0，3），

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）；

（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），

S△COE＝×1×3＝，S△ABP＝×4y＝2y，

∵S△ABP＝4S△COE，∴2y＝4×，

∴y＝3，∴﹣x2+2x+3＝3，

解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝2，

∴P（2，3）．