Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；

（3）求证：CD=HF．

Answer

详见解析.

【解析】

（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；

（2）∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∠BEC=∠BEH，根据BF是⊙O是直径，

得到∠BEF=90°，∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，得到∠FEH=∠FEA，

即可证明FE平分∠AEH．
（3）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．

（1）证明：（1）如图，连接OE．

∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，

∴BF是圆O的直径，

∴OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，

∴∠BEC=∠BEH，

∵BF是⊙O是直径，

∴∠BEF=90°，

∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，

∴∠FEH=∠FEA，

∴FE平分∠AEH．

（3）证明：如图，连结DE．

∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，

∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠HFE，

∵∠C=∠EHF=90°，

∴△CDE≌△HFE（AAS），

∴CD=HF，