Question

某公园在一个扇形OEF草坪上的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置．喷头向外喷水．连喷头在内，柱高m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的水流在与D点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米．当喷头A旋转120°时，这个草坪可以全被水覆盖．如图1所示．

（1）建立适当的坐标系，使A点的坐标为（O，），水流的最高点B的坐标为（4，2），求出此坐标系中抛物线水流对应的函数关系式；

（2）求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用π表示）；

（3）在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图2的设计方案是使H、G分别在OF、OE上，MN在EF上．设MN＝2x，当x取何值时，矩形GHMN花坛的面积最大？最大面积是多少？

Answer

（1）y＝﹣（x﹣4）2+2；（2）（平方米）；（3）当x=时，S的值最大为：（平方米）．

【解析】

（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可；

（2）利用y＝0时求出图象与x轴的交点坐标，进而得出扇形的半径，即可得出S的值；

（3）利用锐角三角函数关系得出MH的长，再利用二次函数最值公式求出即可．

（1）根据题意得出：图象顶点坐标为：（4，2），

故设解析式为：y＝a（x﹣4）2+2，

将（0，），代入上式得：

＝a（0﹣4）2+2，

解得：a＝﹣，

∴抛物线水流对应的函数关系式为：y＝﹣（x﹣4）2+2；

（2）当y＝0时，

0＝﹣（x﹣4）2+2，

解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），

∴扇形半径为10米，

∴S＝（平方米）；

（3）过点O作OA⊥EF于点A，交GH于点B，

∵∠EOF＝120°，EO＝FO＝10，

∴∠OEF＝∠OFE＝30°，

∴AO＝FO＝5，

设MN＝2x，

∴AM＝BH＝x，

∴BO＝x，

∴MH＝5﹣x，

由题意得出：

S＝2x（5﹣x）＝﹣x2﹣10x，

当x＝﹣＝ 时，

S的值最大为：S＝ （平方米）．