Question

如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB＝c，AC＝b，BC＝a，抛物线 y＝ax²+bx﹣c 与 x 轴的一个交点为（m，0）．

（1）若四边形ABCD是正方形，求抛物线y＝ax²+bx﹣c的对称轴；

（2）若 m＝c，ac﹣4b＜0，且 a，b，c为整数，求四边形 ABCD的面积．

Answer

(1)x=；（2）.

【解析】

（1）由四边形ABCD是正方形，可求出a与b的关系，进而可根据对称轴方程求出对称轴；

（2）把（c，0）代入y=ax2+bx﹣c，整理得ac=16﹣4b，结合ac﹣4b＜0，可求b＞2，由求根公式得x1=﹣，x2=，解＞0，得b＜4，从而2＜b＜4，而b为整数，所以b=3，然后可求出a和c的值，从而可证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形ABCD的面积．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，AC=AB，

即b=a=c，

∴抛物线y=ax2+bx﹣c的对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣；

（2）∵m=c，

∴抛物线y=ax2+bx﹣c与x轴的一个交点为（c，0）．

把（c，0）代入y=ax2+bx﹣c得a•c2+bc﹣c=0，

∴ac+4b﹣16=0，

∴ac=16﹣4b，

∵ac﹣4b＜0，

∴16﹣4b﹣4b＜0，解得b＞2，

对于方程ax2+bx﹣c=0，

∵△=b2+4ac=b2+4（16﹣4b）=（b﹣8）2，

∴x=，解得x1=﹣，x2=，

∴抛物线与x轴的交点为（﹣，0），（，0），

而m=c＞0，

∴＞0，解得b＜4

∴2＜b＜4，

而b为整数，

∴b=3，

∴ac=16﹣4×3=4，

而a、c为整数，

∴a=1，c=4（舍去）或a=2，b=2，

即平行四边形ABCD中，AB=2，BC=2，AC=3，

∴四边形ABCD为菱形，

连接BD交AC于O，则OA=OC=，BO=DO，

在Rt△BOC中，BO==，

∴BD=2OB=，

∴四边形ABCD的面积=×3×=．