Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．

Answer

（1）相切，证明见解析；（2）6.

【解析】

（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；

（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E=，推出，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题.

（1）相切，理由如下，

如图，连接OC，

∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，

∴△OCB≌△OCD，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∴OD⊥DC，

∴DC是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，

在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，

∴（8﹣r）2=r2+42，

∴r=3，AB=2r=6，

∵tan∠E=，

∴，

∴CD=BC=6，

在Rt△ABC中，AC=．