Question

如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．

①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；

②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①点P坐标为（﹣2，6），点M、N的坐标分别为（，2）、（，2）；②△CPD的面积为或4．

【解析】

（1）将点A的坐标分别代入直线和抛物线表达式，即可求解；

（2）①四边形DEOF为矩形，故：EF＝OD，当OD垂直于AC时，OD最小，点D为AC的中点，其坐标为（﹣2，2），即可求解；

②分△ADE∽△CDP、△ADE∽△PCD两种情况，求解即可．

（1）将点A的坐标代入直线y＝x+c得：0＝﹣4+c，

解得：c＝4，

将点A坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16﹣4b+4，

解得：b＝﹣3，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4，

故点A、C的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），

将A、C点坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：

，解得，

则直线AC的表达式为：y＝x+4；

（2）①∵四边形DEOF为矩形，故：EF＝OD，

当OD垂直于AC时，OD最小（即EF最小），

∵OA＝OC，

∴点D为AC的中点，其坐标为（﹣2，2），

故点P坐标为（﹣2，6），

把点D纵坐标代入二次函数表达式得：﹣x2﹣3x+4＝2，

解得：x＝，

故点M、N的坐标分别为（，2）、（，2）；

②当△ADE∽△CDP时，则∠CPD＝90°，PC＝PD，

则PC∥x轴，则点P的纵坐标为4，则点P坐标为（﹣3，4），

点D在直线AC：y＝x+4上，则点D坐标为（﹣3，1），

则PD＝4﹣1＝3＝PC，

则S△CPD＝×PC•PD＝；

当△ADE∽△PDC时，

同理可得：S△CPD＝×PD•CH＝4，

故：△CPD的面积为或4．