Question

如图1，直线l：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F．

求直线l的函数表达式和的值；

如图2，连结CE，当时，

求证：∽；

求点E的坐标；

当点C在线段OA上运动时，求的最大值．

Answer

（1）直线l的函数表达式，；证明见解析；E； 最大值为．

【解析】利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；

先判断出，进而得出，即可得出结论；

设出，，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；

利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．

（1）直线l：与x轴交于点，

，

，

直线l的函数表达式，

，

，，

在中，；

如图2，连接DF，，

，

，

，

，

四边形CEFD是的圆内接四边形，

，

，

，

∽，

过点于M，

由知，，

设，则，

，，

，，

，

由知，∽，

，

，

，

，

，

舍或，

，，

；

如图，设的半径为r，过点O作于G，

，，

，，

，

，

，

，

，

连接FH，

是直径，

，，

，

∽，

，

，

时，最大值为．