Question

如图，以 AB 为底分别作等边三角形 QAB 和正方形 ABCD．如果在正方形的对角线 AC上存在一点 P 使 PD+PQ 存在最小值为 2，则该正方形的面积是_________ ．  

 

Answer

4

【解析】

根据正方形的对称性可得，B点和D点关于AC对称，设BQ与AC的交点为点P，连结PD，此时PD+PE的和最小，从而可得PD+PQ=PB+PQ=BQ=2，再由等边三角形性质可得正方形ABCD边长为2，再由正方形面积公式即可得出答案.

【解析】
∵四边形ABCD为正方形，

∴点D与点B关于AC对称，

设BQ与AC的交点为点P，连结PD，此时PD+PE的和最小，

∴PD+PQ=PB+PQ=BQ=2，

又∵△ABQ为等边三角形，

∴AB=BQ=2，

∴正方形ABCD边长为2，

∴S正=22=4.

故答案为：4.