Question

数学思维是数学地思考问题和解决问题，运用数学概念，思维和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质，试用你的数学能力解决下列问题：

 图 1  图 2

（1）如图 1 是角平分线的一种作法，其运用的数学知识是全等三角形判定方法中的________（判定方法）；

（2）如图 2，在△ABC 中，∠B=60°，∠BAC 的平分线 AD 与∠BCA 的平分线 CE 交于点 F， 则：

①∠AFC=________度．

②写出EF与FD的数量关系，并说明理由；

Answer

（1）SSS；（2）①120；②FE=FD,理由见解析

【解析】

（1）根据全等三角形的判定SSS即可得出答案.

（2）①由三角形内角和定理结合已知条件得∠BAC+∠BCA=120°，根据角平分线定义得∠CAF+∠ACF=60°，再由三角形内角和定理即可得出答案.

②在AC上截取AG=AE，连结FG，由①知∠2+∠3=60°，∠AFC=120°，由三角形外角性质得∠AFE=∠2+∠3=60°，根据全等三角形判定SAS得△AFE≌△AFG，由全等三角形性质得FE=FG，∠AFE=∠AFG=60°，根据全等三角形判定ASA得△CFD≌△CFG，由全等三角形性质得FD=FG，等量代换即可得证.

解（1）在△OAP和△OBP中，

∵，

∴△OAP≌△OBP（SSS），

∴∠AOP=∠BOP，

∴OP平分∠AOB.

故答案为：SSS.

（2）①∵∠B=60°，

∴∠BAC+∠BCA=120°，

又∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，

∴∠EAF=∠CAF=∠BAC，∠DCF=∠ACF=∠BCA，

∴∠CAF+∠ACF=∠BCA+∠BAC，

=（∠BCA+∠BAC），

=×120°，

=60°，

∴∠AFC=180°-（∠CAF+∠ACF），

=180°-60°，

=120°.

故答案为120°.

②如图，在AC上截取AG=AE，连结FG，

由①知∠AFC=120°

∴∠AFE=∠2+∠3=60°，

在△AFE和△AFG中，

，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴FE=FG，∠AFE=∠AFG=60°，

∵∠AFC=120°，

∴∠CFG=60°，

又∵∠DFC=∠AFE=60°，

∴∠CFG=∠DFC

在△CFD和△CFG中，

，

∴△CFD≌△CFG（ASA），

∴FD=FG，

∴FE=FD.