Question

如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边BC的中点重合将绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

如图，当点Q在线段AC上，且时，和的形状有什么关系，请证明；

如图，当点Q在线段CA的延长线上时，和有什么关系，说明理由；

当，时，求P、Q两点间的距离．

Answer

（1）见解析；（2）∽．理由见解析；（3）．

【解析】

（1）依据△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，运用SAS即可判定△BPE≌△CQE；

（2）依据∠B=∠C=∠DEF=45°，即可得到∠BEP=∠EQC，再根据∠B=∠C，即可判定△BPE∽△CEQ；

（3）先根据△BPE∽△CEQ，得到=，进而得到BE=CE=，BC=，最后根据勾股定理，求得△APQ中，PQ=.

≌．

理由是等腰直角三角形，

，，

，

，

是BC的中点，

，

在和中，

，

≌；

∽．

理由：和是两个全等的等腰直角三角形，

，

，

即，

，

，

，

∽；

如图，连结PQ，

∽，

，

，，，

，

，

，

在中，，

，

，，

在中，．