Question

△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，AD=AC=7，BD=BC．动点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，同时，动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A运动．当一个点到达点A时，点M、N两点同时停止运动．设M、N运动的时间为t秒．

（1）求cosA的值．

（2）当以MN为直径的圆与△ABC一边相切时，求t的值．

Answer

（1）；（2）t＝1或t＝2．

【解析】

试题（1）设BC＝4m，AC＝x，用m表示出AC和AB，根据三角函数定义即可求解.

（2）分⊙O与AB相切，⊙O与AC相切和⊙O与BC相切三种情况讨论即可.

（1）设BC＝4m，AC＝x，则BD＝2m，AD＝x，

∵，∴ 16＋＝. 解之得 x＝3m.

从而AB＝5m.

因此cosA＝.

（2）CM＝t，AM＝7－t，DN＝2t，AN＝7－2t，其中0≤t≤3.5，

记以MN为直径的圆为⊙O，当⊙O与AB相切时，则MN⊥AB，

因此，t＝2，符合题意；

当⊙O与AC相切时，则MN⊥AC，因此，t＝－14，舍去；

当⊙O与BC相切时，如图，作NE⊥BC，垂足为E．取EC的中点F，连结OF，则OF⊥BC，即点F为⊙O与BC相切的切点．连结MF，NF，则FM⊥FN，因此△FCM∽△NEF．

因此CM·EN＝.

而CM＝t，EN＝，EF＝FC＝EC＝，

因此，整理得，解之得 t＝1，t＝－14（舍去） .

综上所得，当以MN为直径的圆与△ABC一边相切时，t＝1或t＝2．