Question

如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．

求证：（1）AM⊥DM；

（2）M为BC的中点．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN，MN=CM，等量代换得到答案．

（1）∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180º，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴2∠MAD+2∠ADM=180º，

∴∠MAD+∠ADM=90º，，

即AM⊥DM；

（2）作NM⊥AD交AD于N，

∵∠B=90º，AB∥CD，

∴BM⊥AB，CM⊥CD，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴BM=MN，MN=CM，

∴BM=CM，

即M为BC的中点．