Question

如图，正方形AOBC的顶点O在原点，边AO，BO分别在x轴和y轴上，点C坐标为(4，4)，点D是BO的中点，点P是边OA上的一个动点，连接PD，以P为圆心，PD为半径作圆，设点P横坐标为t，当⊙P与正方形AOBC的边相切时，t的值为_____．

Answer

或2

【解析】

由点C的坐标可得OA、OB的长，根据点D是OB的中点可得OD的长，分⊙P与AC相切和⊙P与BC相切两种情况分别进行讨论即可求得答案.

∵点C坐标为（4，4），点D是BO的中点，

∴OA＝OB＝4，OD＝OB＝2，

分⊙P与AC相切和⊙P与BC相切两种情况考虑：

①当⊙P与AC相切时，如图1所示．

∵点P横坐标为t，

∴PA＝4﹣t．

在Rt△DOP中，OD＝2，OP＝t，PD＝PA＝4﹣t，

∴PD2＝OD2+OP2，即（4﹣t）2＝22+t2，

解得：t＝；

②当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，如图2所示．

∵PE⊥BC，AC⊥BC，

∴PE∥AC．

∵PA∥EC，

∴四边形ACEP为矩形，

∴PE＝AC＝4，

∴PD＝PE＝4．

在Rt△POD中，OP＝t，OD＝2，PD＝4，

∴PD2＝OD2+OP2，即42＝22+t2，

解得：t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去），

综上所述：t的值为或2，

故答案为：或2．