Question

如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AB＝AD，BD交⊙O于点C，AD交⊙O于点E，点P是AC的延长线上一点，连接PB、PD，且PD⊥AD

(1)判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)连接CE，若CE＝3，AE＝7，求⊙O的半径．

Answer

(1)PB与⊙O相切，理由见解析；(2)⊙O的半径为4.5．

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质可得PB=PD，通过证明△ABP与△ADP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABP=∠ADP=90°，再根据切线的判定定理即可得证；

（2）根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAC，得到BC=CE=3，然后证明△DCE与△DAB相似，然后根据相似三角形的对应边成比可推导得出DC•DB＝DE•DA，代入相关数据即可求得答案.

(1)PB与⊙O相切，理由如下：

∵AB是⊙O的直径，

∴AC⊥BD，

又AB＝AD，

∴AP是线段BD的垂直平分线，

∴PB＝PD，

在△ABP和△ADP中，

，

∴△ABP≌△ADP(SSS)，

∴∠ABP＝∠ADP＝90°，

∴PB与⊙O相切；

(2)∵△ABP≌△ADP，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴，

∴BC＝CE＝3，

∵AB＝AD，AC⊥BD，

∴BC＝CD＝3，

∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，

∴∠DBA+∠CEA=180°，

∵∠DEC+∠CEA=180°，

∴∠DBA=∠DEC，

又∵∠CDE=∠ADB，

∴△DCE∽△DAB，

∴DC：DA=DE：DB，

∴DC•DB＝DE•DA，即3×6＝DE×(DE+7)，

解得，DE＝2，

∴DA＝2+7＝9，

∴AB＝AD＝9，

∴⊙O的半径为4.5．