Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE

(1)求证：EH＝EC；

(2)若AB＝4，sinA＝，求AD的长．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接OE，易证OE∥BC，继而结合已知证明∠CBE＝∠EBO，然后利用角平分线的性质即可证得EH=EC；

（2）由sinA＝=，设OE＝2a，AO＝3a(a≠0)，根据AB的长可求得a的值，再根据AD=AB-BD即可求得答案.

(1)如图，连接OE，

∵AC与⊙O相切，

∴OE⊥AC，且BC⊥AC，

∴OE∥BC

∴∠CBE＝∠OEB，

∵EO＝OB，

∴∠EBO＝∠OEB

∴∠CBE＝∠EBO，且CE⊥BC，EH⊥AB，

∴CE＝EH

(2)∵sinA＝=，

∴设OE＝2a，AO＝3a，(a≠0)

∴OB＝2a，

∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝4

∴a＝，

∵AD＝AB﹣BD＝4﹣4a

∴AD＝.