Question

如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N

(1)求证：∠AOC＝135°；

(2)若NC＝3，BC＝2，求DM的长．

Answer

（1）∠AOC＝135°；（2）DM＝1．

【解析】

(1)如图，作OE⊥AC于E，连接OM，ON，由切线的性质可得OM⊥AB，ON⊥CD，由角平分线的性质可得OM=OE，从而得AC是⊙O的切线，继而可得OC平分∠ACD，继而通过推导即可证得∠AOC=135°；

(2)由切线长定理可得AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，AM=AE=y，则有BD=3﹣x，在Rt△BDC中，利用勾股定理进行求解即可.

(1)如图，作OE⊥AC于E，连接OM，ON，

∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N，

∴OM⊥AB，ON⊥CD，

∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，

∴OM=OE，

∴AC是⊙O的切线，

∵ON=OE，ON⊥CD，OE⊥AC，

∴OC平分∠ACD，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∴∠AOC=180°﹣(∠DAC+∠ACD)=180°﹣45°=135°．

(2)∵AD，CD，AC是⊙O的切线，M，N，E是切点，

∴AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，AM=AE=y，

∵AB=AC，

∴BD=3﹣x，

在Rt△BDC中，∵BC2=BD2+CD2，

∴20=(3﹣x)2+(3+x)2，

∵x>0，

∴x=1，

∴DM=1．