Question

如图，点O是Rt△ABC的AB边上一点，∠ACB＝90°，⊙O与AC相切于点D，与边AB，BC分别相交于点E，F．

(1)求证：DE＝DF；

(2)当BC＝3，sinA＝时，求AE的长．

Answer

（1）见解析；（2）AE=．

【解析】

(1)连接OD，OF，由切线的性质可得∠ADO＝90°，从而得到OD∥BC，从而得到∠AOD＝∠ABC，∠DOF＝∠OFB，并由半径相等，再进行角的代换从而得到∠AOD＝∠DOF，即可求解.

(2) Rt△ABC中,有正弦的定义求出AB，再由Rt△AOD中，设圆的半径为r，通过正弦建立比例式方程从而进行求解.

【解析】
（1）如图所示，连接OD，OF，

∵⊙O与AC相切于点D，

∴∠ADO＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴OD∥BC，

∴∠AOD＝∠ABC，∠DOF＝∠OFB，

∵OB＝OF，

∴∠ABC＝∠OFB，

∴∠AOD＝∠DOF，

∴DE＝DF；

（2）在Rt△ABC中，∵BC＝3，sinA＝＝，

∴AB＝5，

设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝OE＝r，

则AO＝AB﹣OB＝5﹣r，AE＝5﹣2r，

在Rt△AOD中，∵sinA＝＝，

∴＝，解得r＝，

则AE＝5﹣2r＝．