Question

如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理【解析】
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

(2)性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．

猜想结论：(要求用文字语言叙述)　   　

写出证明过程(先画出图形，写出已知、求证)．

(3)问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长．

Answer

（1）见解析;

（2）垂美四边形的两组对边的平方和相等,理由见解析;（3）.

【解析】

试题（1）根据垂直平分线的判定定理可得，直线AC是线段BD的垂直平分线，结论得证；

（2）根据垂直的定义可得∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，进而得到答案；

（3）连接CG、BE，由题意易得△GAB≌△CAE，可知∠ABG=∠AEC，进而得到四边形BCGE是垂美四边形；接下来根据垂美四边形的性质、勾股定理以及（2）的结论进行计算求解，即可完成解答.

试题解析：

【解析】
（1）四边形ABCD是垂美四边形．

证明：∵AB=AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB=CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．

如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，

求证：AD2+BC2=AB2+CD2

证明：∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）连接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=4，BE=5，

∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，

∴GE=．