Question

已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）若AB⊥AD，则AEOF为正方形

【解析】试题（1）利用SAS证明△ BCE≌△DCF；

（2）先证明AEOF为菱形，当BC⊥AB，得∠BAD＝90°，再利用知识点：有一个角是90°的菱形是正方形。

试题解析：（1）∵四边形ABCD为菱形

∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠D

又E、F分别是AB、AD中点，∴BE=DF

∴△ABE≌△CDF（SAS）

（2）若AB⊥AD，则AEOF为正方形，理由如下

∵E、O分别是AB、AC中点，∴EO∥BC，

又BC∥AD，∴OE∥AD，即：OE∥AF

同理可证OF∥AE，所以四边形AEOF为平行四边形

由（1）可得AE＝AF

所以平行四边AEOF为菱形

因为BC⊥AB，所以∠BAD＝90°，所以菱形AEOF为正方形。