Question

如图，边长为a的正方形ABCD被两条与正方形的边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，EF与GH交于点P，连接AF，AH．

（1）若BF＝DH，求证：AF＝AH．

（2）连接FH，若∠FAH＝45°，求△FCH的周长（用含a的代数式表示）．

Answer

（1）见解析；（2）△FCH的周长为2a．

【解析】

（1）根据题意和矩形的性质、正方形的性质，利用全等三角形的判定可以得到△ABF与△ADH全等，从而可以证明结论成立；

（2）利用旋转的性质，将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM，可以得到AM＝AH，DH＝BM，再根据全等三角形的判定与性质即可求得△FCH的周长．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，

在△ABF和△ADH中，，

∴△ABF≌△ADH（SAS），

∴AF＝AH；

（2）将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置，如图所示，

则AM＝AH，∠DAH＝∠BAM，

∵∠FAH＝45°，∠DAB＝90°，

∴∠DAH+∠BAF＝45°，

∴∠BAM+∠BAF＝45°，

即∠FAM＝45°，

∴∠FAM＝∠FAH，

在△FAM和△FAH中，，

∴△FAM≌△FAH（SAS），

∴MF＝HF，

∵MF＝BF+BM＝BF+DH，

∴△FCH的周长为：CF+CH+FH＝CF+CH+BF+DH＝BC+CD＝2a，

即△FCH的周长为2a．