Question

如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）当t＝或12时，△DEF为直角三角形．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理得到∠C＝30°，根据直角三角形的性质求出DF，得到DF＝AE，根据平行四边形的判定定理证明；

（2）分∠EDF＝90°、∠DEF＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．

（1）∵∠B＝90°，∠A＝60°，

∴∠C＝30°，

∴AB＝AC＝30，

由题意得，CD＝4t，AE＝2t，

∵DF⊥BC，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝2t，

∴DF＝AE，

∵DF∥AE，DF＝AE，

∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）当∠EDF＝90°时，如图①，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠C＝30°，

∴AD＝2AE，即60﹣4t＝2t×2，

解得，t＝，

当∠DEF＝90°时，如图②，

∵AD∥EF，

∴DE⊥AC，

∴AE＝2AD，即2t＝2×（60﹣4t），

解得，t＝12，

综上所述，当t＝或12时，△DEF为直角三角形．