Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.

（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；

（2）当PD=PE时，求AP的长；

（3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求出BP的长，然后求出BE的长；

（2）设AP= ，则BP=4—，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD和PE的长，再根据PD=PE列出方程即可.

（3）分别用AP表示PD、PE、BE,再根据即可求出.

（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，

∵点D为AC边的中点

,

∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D，

∴∠EPB=30°，∴EB

（2）设AP= ，则BP=4—，在两个含有30°的中得出：

AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：，

∵PD=PE，∴解得 即有AP=

（3）由（2）知：AP= ，