Question

在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AB边上一点，连接CE，把△BCE沿CE折叠，使点B落在点B′处．

（1）当B′在边CD上时，如图①所示，求证：四边形BCB′E是正方形；

（2）当B′在对角线AC上时，如图②所示，求BE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）3

【解析】

（1）由折叠可得BE=B'E，BC=B'C，∠BCE=∠B'CE，由∠DCB=90°=∠B可证四边形BCB′E是正方形

（2）由折叠可得BC=B'C=6，则可求AB'=4，根据勾股定理可求B'E的长，即可得BE的长．

（1）证明：∵△BCE沿CE折叠，

∴BE＝B'E，BC＝B'C

∠BCE＝∠B'CE

∵四边形ABCD是矩形

∴∠DCB＝90°＝∠B

∴∠BCE＝45°且∠B＝90°

∴∠BEC＝∠BCE＝45°

∴BC＝BE

∵BE＝B'E，BC＝B'C

∴BC＝BE＝B'C＝B'E

∴四边形BCB'E是菱形

又∵∠B＝90°

∴四边形BCB'E是正方形

（2）∵AB＝8，BC＝6

∴根据勾股定理得：AC＝10

∵△BCE沿CE折叠

∴B'C＝BC＝6，BE＝B'E

∴AB'＝4，AE＝AB﹣BE＝8﹣B'E

在Rt△AB'E中，AE2＝B'A2+B'E2

∴（8﹣B'E）2＝16+B'E2

解得：BE'＝3

∴BE＝B'E＝3