Question

如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求出点C的坐标；

（3）点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）

【解析】

（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；

（2）作CD⊥y轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标；

（3）求得B点关于y轴的对称点B′的坐标，连接B′C与y轴的交点即为所求的P点，由B′、C坐标可求得直线B′C的解析式，则可求得P点坐标．

（1）设AB直线的解析式为：y=kx+b，

把（0，4）（3，0）代入可得：，

解得：，

（2）如图，作CD⊥y轴于点D．

∵∠BAC＝90°，

∴∠OAB+∠CAD＝90°，

又∵∠CAD+∠ACD＝90°，

∴∠ACD＝∠BAO．

在△ABO与△CAD中，

∵，

∴△ABO≌△CAD（AAS），

∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．

则C的坐标是（4，7）．

（3）如图2中，作点B关于y轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB+PC的值最小．

∵B（3，0），C（4，7）

∴B′（﹣3，0），

把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n中，

可得：，

解得：，

∴直线CB′的解析式为y＝x+3，

令x＝0，得到y＝3，

∴P（0，3）．