Question

如图，菱形ABCD中，AB＝6cm，∠ADC＝60°，点E从点D出发，以1cm/s的速度沿射线DA运动，同时点F从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB运动，连接CE、CF和EF，设运动时间为t（s）．

（1）当t＝3s时，连接AC与EF交于点G，如图①所示，则AG＝　   　cm；

（2）当E、F分别在线段AD和AB上时，如图②所示，求证△CEF是等边三角形；

（3）当E、F分别运动到DA和AB的延长线上时，如图③所示，若CE＝cm，求t的值和点F到BC的距离．

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）想办法证明CE=CF，AE=AF，推出AC垂直平分线段EF，即可解决问题；

（2）如图②中，连接AC．只要证明△DCE≌△ACF即可解决问题；

（3）如图③中，连接AC，作CH⊥AB于H，FM⊥BC交CB的延长线于M．解直角三角形求出AF，FM即可解决问题.

（1）【解析】
如图①中，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，

∴DA＝DC＝AB＝BC，

∴△ADC，△ABC第三等边三角形，

当t＝3时，AE＝DE＝3cm，AF＝BF＝3cm，

∵CA＝CD＝CB，

∴CE⊥AD，CF⊥AB，

∵∠CAB＝∠CAD，

∴CF＝CE，∵AE＝AF，

∴AC垂直平分线段EF，

∴∠AGF＝90°，

∵∠FAG＝60°，

∴∠AFG＝30°，

∴AG＝AF＝cm，

（2）如图②中，连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，

∴DA＝DC＝AB＝BC，

∴△ADC，△ABC第三等边三角形，

∴∠D＝∠ACD＝∠CAF＝60°，DA＝AC，

∵DE＝AF，

∴△DCE≌△ACF，

∴CE＝CF，∠DCE＝∠ACF，

∴∠ECF＝∠ACD＝60°，

∴△ECF是等边三角形．

（3）如图③中，连接AC，作CH⊥AB于H，FM⊥BC交CB的延长线于M．

由（2）可知：△ECF是等边三角形，

∴CF＝CE＝3，

在Rt△BCH中，∵BC＝6，∠CBH＝60°，

∴BH＝3，CH＝3，

在Rt△CFH中，HF＝，

∴BF＝3﹣3，AF＝3+3，

∴t＝（3+3）s，

在Rt△BFM中，∵∠FBM＝∠ABC＝60°，BF＝3﹣3，

∴FM＝BF•sin60°＝．