Question

已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，抛物线y＝﹣+bx+c过点A、C，且与x轴交于另一点B，在第一象限的抛物线上任取一点D，分别连接CD、AD，作DE⊥AC于点E．

(1)求抛物线的表达式；

(2)求△ACD面积的最大值；

(3)若△CED与△COB相似，求点D的坐标．

Answer

（1）；（2）4；（3）点D的坐标为D1(3，2)、D2(，)．

【解析】

(1)根据直线y＝－x＋2与x轴，y轴相交于点A，C，求点A，C的坐标，用待定系数法求抛物线的解析式；(2)过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点F，设D(t，)，由S△ACD＝S△CDF＋S△ADF，用含t的代数式表示S△ACD，结合二次函数的性质求解；(3)除了∠BOC＝∠CED外，△BOC与△CDE的对应关系不确定，所以需要分两类讨论，①当∠DCE＝∠BCO时，可得CD∥AB，点C，D的纵坐标相等；②当∠DCE＝∠CBO时，将△OCA沿AC翻折得△MCA，点O的对称点为点M，过点M作MH⊥y轴于点H，AN⊥MH于点N，利用相似三角形的性质和勾股定理求出点M的坐标后，再由直线CM与抛物线的交点列方程组求解.

(1)∵直线与x轴.y轴分别交于点A.C，

∴A(4，0)，C(0，2)，OA＝4，OC＝2，

将A(4，0)，C(0，2)分别代入中，

，解得.

∴.

(2)如图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点F，

设D(t，)，其中，则F(t，).

∴DF＝－()＝，

S△ACD＝S△CDF＋S△ADF

＝

＝

＝

＝

＝.

∴当t＝2时，S△ACD最大＝4．

(3)设y＝0，则＝0，解得，，

∴B(－1，0)，OB＝1.

∵，，∴.

∵∠BOC＝∠COA＝90°，

∴△BOC∽△COA，

∴∠OCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠OBC.

①当∠DCE＝∠BCO时，∠DCE＝∠OAC，

∴CD∥OA，点D的纵坐标与点C纵坐标相等，

令y＝2，则＝2，解得，，

∴D1(3，2).

②如图2，当∠DCE＝∠CBO时，∠DCE＝∠OCA，

将△OCA沿AC翻折得△MCA，点O的对称点为点M，

过点M作MH⊥y轴于点H，AN⊥MH于点N，

则CM＝CO＝2，AM＝AO＝4，

设HM＝m，MN＝HN－HM＝OA－HM＝4－m，

由∠AMC＝∠AOC＝∠ANM＝∠MHC＝90°易证△CHM∽△MNA，且相似比，

∴AN＝2MH＝2m，CH＝MN＝2－m，

在Rt△CMH中，由勾股定理得：，解得，，

∴MH＝，OH＝，M(，).

设直线CM的表达式为y＝kx＋n，则，解得，

∴，

由，解得，，

∴D2(，).

综上所述，点D的坐标为D1(3，2).D2(，)．