Question

阅读理【解析】
在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：

若，则点与点的“非常距离”为；

若，则点与点的“非常距离”为．

例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）．

（1）已知点，为轴上的一个动点．

①若点（0，3），则点与点的“非常距离”为　　      ；

②若点与点的“非常距离”为2，则点的坐标为　　            ；

③直接写出点与点的“非常距离”的最小值为　　              ；

（2）已知点（0，1），点是直线上的一个动点，如图2，求点与点“非常距离”的最小值及相应的点的坐标．

Answer

（1）①3；②B（0，2）或（0，﹣2）；③；（2）最小值为， ．

【解析】

(1)①根据若,则点与点的“非常距离”为解答即可;
②根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为.由“非常距离”的定义可以确定,据此可以求得y的值;
③设点B的坐标为.因为,所以点A与点B的“非常距离”最小值为;

(2)设点C的坐标为.根据材料“若,则点与点的“非常距离”为”,此时，列出再求解,据此可以求得最小值和点C的坐标.

【解析】
（1）① ，.

∵ ，∴点A与点B的“非常距离”为3．

② ∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．

∵，∴.

解得，y＝2或y＝﹣2；

∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）.

③ 点A与点B的“非常距离”的最小值为．

（2）如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，

需要根据运算定义“若，则点与点的‘非常距离’为”解答，此时.

∵是直线上的一个动点，点D的坐标是（0，1），

∴设点的坐标为，则

∴或，∴或.

∵ ，∴点C与点D的“非常距离”的最小值为，

此时．