Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a，b满足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD；

（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD＝S四边形ABCD？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由；

（3）点P是直线BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合），直接写出∠BAP，∠DOP，∠APO之间满足的数量关系．

Answer

（1）18；（2）M（0，2）或（0，﹣2）；（3）①当点P在线段BD上移动时，∠APO＝∠DOP+∠BAP；②当点P在DB的延长线上时，∠DOP＝∠BAP+∠APO；③当点P在BD的延长线上时，∠BAP＝∠DOP+∠APO．

【解析】

（1）根据非负数的性质分别求出a、b，根据平移规律得到点C，D的坐标，根据坐标与图形的性质求出S四边形ABCD；

（2）设M坐标为（0，m），根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出m，得到点M的坐标；

（3）分点P在线段BD上、点P在DB的延长线上、点P在BD的延长线上三种情况，根据平行线的性质解答．

【解析】
（1）∵（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，

∴a﹣3＝0，b﹣6＝0，

，解得，a＝3，b＝6．

∴A（0，3），B（6，3），

∵将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，

∴C（﹣2，0），D（4，0），

∴S四边形ABDC＝AB×OA＝6×3＝18；

（2）在y轴上存在一点M，使S△MCD＝S四边形ABCD，

设M坐标为（0，m）．

∵S△MCD＝S四边形ABDC，

∴×6|m|＝×18，

解得m＝±2，

∴M（0，2）或（0，﹣2）；

（3）①当点P在线段BD上移动时，∠APO＝∠DOP+∠BAP，

理由如下：如图1，过点P作PE∥AB，

∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，

∴PE∥CD，

∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，

∴∠BAP+∠DOP＝∠APE+∠OPE＝∠APO；

②当点P在DB的延长线上时，同①的方法得，

∠DOP＝∠BAP+∠APO；

③当点P在BD的延长线上时，同①的方法得，

∠BAP＝∠DOP+∠APO．