Question

如图：在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从D开始向点A以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．

（1）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？

（2）求四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论．

Answer

（1）2；（2）当P、Q移动任意时间t（s）时，四边形APCQ的面积都等于36（cm2）．

【解析】

试题（1）要使△QAP为等腰直角三角形，须AQ=AP，根据点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动可求解．

（2）当P、Q移动任意时间t（s）时，在Rt△CDQ中，CD=12（cm），DQ=t（cm），然后求出四边形的面积，根据面积为定值从而可求解．

试题解析：（1）当点P运动时，AP=2t，当点Q运动时，AQ=AD-DQ=6-t，

要使△QAP为等腰直角三角形，须AQ=AP

即2t=6-t，得t=2（s），

（2）当P、Q移动任意时间t（s）时．

在矩形ABCD中，CD=AB=12cm．

在Rt△CDQ中，CD=12（cm），DQ=t（cm）．

所以S△CDQ=CD•DQ=•12•t=6t（cm2）

在Rt△PBC中，BC=6（cm），BP=12-2t（cm）．

所以S△PBC=BC•BP=•6•（12-2t）=（36-6t）（cm2）

所以四边形APCQ的面积S=12×6-6t-（36-6t）=36（cm2）

答：当P、Q移动2（s）时，△QAP为等腰直角三角形．

当P、Q移动任意时间t（s）时，四边形APCQ的面积都等于36（cm2）．