Question

△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．以下结论中正确的有（　　）

①t为6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；②t为6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，且此时CP长为5cm；③t为3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，

A. ①②③    B. ①②    C. ②③    D. ①③

Answer

A

【解析】

①先由勾股定理求出△ABC的斜边AB＝10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，再根据时间＝路程÷速度即可求解；

②根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；

③△BCP为等腰三角形时，分点P在边AC和边AB上讨论计算

【解析】
△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，

∴AB＝10cm，

∴△ABC的周长＝8+6+10＝24cm，

∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，

此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，

∴t＝12÷2＝6（秒），故①正确；

当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，

此时CA+AP＝8+5＝13（cm），

∴t＝13÷2＝6.5（秒），

∴CP＝AB＝ ×10＝5cm，故②正确；

依据△BCP为等腰三角形，

当点P在边AC上时，CP＝CB＝6cm，

此时t＝6÷2＝3（秒）；

当点P在边AB上时．

① 如图1，若CP＝CB，作AB边上的高CD，

∵ AC×BC＝AB×CD．

∴CD＝＝4.8，

在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP＝＝3.6，

∴BP＝2DP＝7.2，AP＝2.8，

∴t＝（AC+AP）÷2＝（8+2.8）÷2＝5.4（秒）；

②若BC＝BP，

∴BP＝6cm，CA+AP＝8+10﹣6＝12（cm），

∴t＝12÷2＝6（秒）；

③若PB＝PC，

∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点处，

此时CA+AP＝8+5＝13（cm），

t＝13÷2＝6.5（秒）；

综上可知，当t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，故③正确．

故选：A．