Question

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；

（2）当点P在AB上，求出t为何值时，△BCP为等腰三角形．

Answer

（1）当t＝时，PA＝PB；（2）5.3s或5s或s时，△BCP为等腰三角形．

【解析】

（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝4t，PC＝8﹣4t，根据勾股定理列方程即可得到t的值；

（2）若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP＝ AB＝5，易得t的值；当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值．

（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，

∴由勾股定理得AC＝＝8，

如图1，连接BP，

当PA＝PB时，PA＝PB＝4t，PC＝8﹣4t，

在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，

即（8﹣4t）2+62＝（4t）2，

解得：t＝，

∴当t＝时，PA＝PB；

（2）①如图3，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，

∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，

∴t＝20÷4＝5（s）；

②如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝4.8，

在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝3.6，

∴PB＝2BD＝7.2，

∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，

此时t＝21.2÷4＝5.3（s）；

③如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，

∴PD为△ABC的中位线，

∴AP＝BP＝AB＝5，

∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，

∴t＝19÷4＝（s）；

综上所述，5.3s或5s或s时，△BCP为等腰三角形．