Question

如图（1）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PD+PE＝BF．

[思路梳理]：如图（2）：连接AP，必有S_△APB+S_△APC＝S_△ABC，因为△ABP、△ACP和△ABC的底相等，所以三条高PD、PE和BF满足关系：PD+PE＝BF．

[变式应用]：如图（3）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC的反向延长线上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PE﹣PD＝BF．

[类比引申]：如图（4）：已知P是边长为4cm等边△ABC内部一点，作PD⊥BC于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，那么PD+PE+PF等于多少．

[联想拓展]：已知某三角形的三条边分别是5cm、12cm、13cm，在平面上有一点P，它到此三角形的三边的距离相等，则这个距离等于多少．

Answer

[变式应用]证明见解析；[类比引申]2cm；[联想拓展]2cm．

【解析】

[变式应用]：如图（3）：连接PA，利用面积法即可解决问题；

[类比引申]：如图（4）：作AH⊥BC于H，连接PA，PB，PC．利用面积法即可解决问题；

[联想拓展]：首先证明△ABC是直角三角形，再利用面积法求解即可解决问题；

[变式应用]证明：如图3中，连接PA，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，

∴S△ABC＝AC•BF，S△PAC＝AC•PE，S△PAB＝AB•PD，

又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB，

∴AC•BF＝AC•PE﹣AB•PD，

又∵AB＝AC，

∴BF＝PE﹣PD．

[类比引申]【解析】
如图4中，作AH⊥BC于H，连接PA，PB，PC．

∵S△ABC＝BC•AH＝AB•PE+AC•PF+BC•PD，

∵AB＝BC＝AC＝4cm，AH⊥BC，

∴BH＝CH＝2cm，AH＝2cm，

∴PE+PF+PD＝AH＝2cm，

故答案为2cm．

[联想拓展]【解析】
∵52+122＝132，

∴△ABC是直角三角形，

根据题意画图，如图所示：

连接AP，BP，CP．

设PE＝PF＝PG＝x，

S△ABC＝×AB×CB＝30，

S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×30x＝15x，

则15x＝30，

x＝2．