Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，

（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值：

（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

（本题可根据需要，自己画图并解答）

Answer

（1）当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．（2）当△ABP为等腰三角形时，t＝2.5s或4s或s.

【解析】

（1）首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．

（2）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．

（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，

∴BC＝4 cm．

①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，

∴t＝4÷2＝2s．

②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3 cm，

在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，

在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，

∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，

解得t＝s．

综上，当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．

（2）①当BP＝BA＝5时，∴t＝2.5s．

②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，∴t＝4s．

③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（4﹣2t）cm，AC＝3 cm，

在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，

∴（2t）2＝32+（4﹣2t）2，解得t＝s．

综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝2.5s或4s或s