Question

(1)(操作发现)

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝　   　．

(2)(问题解决)

如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；

(3)(灵活运用)

如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．

Answer

（1）∠AB′B＝45°；（2）∠BPC＝150°；AB＝；（3）∠BPC＝135°.

【解析】

（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可，只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；

（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B＝30°，求出BM，P′M，根据勾股定理即可求出答案；

（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，求出∠BEP＝ （180°﹣90°）＝45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；

（1）如图1所示，连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，

∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，

∴∠AB′B＝45°，

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，如图2，

∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，

∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴△BPP′是等边三角形，

∴PP′＝，∠BP′P＝60°，

∵AP′＝1，AP＝2，

∴AP′2+PP′2＝AP2，

∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是 直角三角形；

∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；

过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，

∴∠MP′B＝30°，BM＝，

由勾股定理得：P′M＝，

∴AM＝1+＝，

由勾股定理得：AB＝．

（3）如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，

与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，

∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，

∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，

由勾股定理得：EP＝2，

∵AE＝1，AP＝，EP＝2，

∴AE2+PE2＝AP2，

∴∠AEP＝90°，

∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；