Question

如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，设运动时间为t（s）．

（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；

（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．

Answer

（1）△APQ是等边三角形；（2）t＝1.5．

【解析】

（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定定理即可得出结论；

（2）根据全等的条件和已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定定理即可得出结论．

（1）△APQ是等边三角形．理由如下：

∵t＝1，∴AP＝3﹣1×1＝2，AQ＝2×1＝2，∴AP＝AQ．

∵∠A＝60°，∴△APQ是等边三角形；

（2）存在t，使△APQ和△CPQ全等．当t＝1.5s时，△APQ和△CPQ全等．理由如下：∵在Rt△ACB中，AB＝6，AC＝3，∴∠B＝30°，∠A＝60°，当t＝1.5时，此时AP＝PC．

∵t＝1.5s，∴AP＝CP＝1.5cm．

∵AQ＝3cm，∴AQ＝AC．

又∵∠A＝60°，∴△ACQ是等边三角形，∴AQ＝CQ．

在△APQ和△CPQ中，∵AQ=CQ，AP=CP，PQ=PQ，∴△APQ≌△CPQ（SSS）；

即存在时间t，使△APQ和△CPQ全等，时间t＝1.5；