Question

已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．

(1)求BC的长；

(2)有一动点P从点C开始沿C→B→A方向以1cm/s的速度运动到点A后停止运动，设运动时间为t秒；求：

①当t为几秒时，AP平分∠CAB；

②当t为几秒时，△ACP是等腰三角形(直接写答案)．

Answer

（1）BC==8；（2）①当t=3秒时，AP平分∠CAB；② t=6或t=10.8或t=12或t=13.

【解析】

（1）直接根据勾股定理求出BC的长即可；
（2）①过点P作PD⊥AB于点D，根据角平分线的性质可得出PD=PC，由HL定理可得出Rt△APD≌Rt△APC，故AD=AC，设PC=x，则PB=8-x，在Rt△BPD中根据勾股定理求出x的值即可得出结论；
②当点P在BC上时，只有AC=PC一种情况；当点P在AB上时，分AP=AC，PC=AC，PC =AP三种情况进行讨论．

【解析】
（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，

∴BC===8；

（2）①如图1所示，过点P作PD⊥AB于点D，

∵AP平分∠CAB，∴PD=PC．

在Rt△APD与Rt△APC中，

，

∴Rt△APD≌Rt△APC（HL），

∴AD=AC=6，∴BD=10－6=4．

设PC=x，则PB=8－x，

在Rt△BPD中，PD2+BD2=PB2，即x2+42=（8－x）2， 解得x=3，

∴当t=3秒时，AP平分∠CAB；

② 如图2所示,

当点P在BC上时，

∵AC=C=6，

∴t=6秒；

当点P在AB上,AC=A时，

∵AC=A=6，

∴BC+B=8+4=12，

∴t=12秒；

当AC=C时，如图3所示，

过点D作CD⊥AB于点D,则AD=D，

∴ =,即=，解得AD=3.6，

∴A=7.2，

∴BC+B=8+(10−7.2)=10.8，

∴t=10.8秒；

当C=A时,如图4所示,过点作E⊥AC于点E，

∵C=A，AC=6，

∴AE=AC=3，

∴ =,即 =,解得A=5，

∴BC+B=8+(10−5)=13，

∴t=13秒。

综上所述，t=6或t=10.8或t=12或t=13秒时，△ACP是等腰三角形.