Question

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，联结EF．

(1)如图，当点D在线段CB上时，

①求证：△AEF≌△ADC；

②联结BE，设线段CD＝x，线段BE＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；

(2)当∠DAB＝15°时，求△ADE的面积．

Answer

(1)①证明见解析；②函数的解析式是y＝，定义域是0＜x≤5；(2)△ADE的面积为或50+75．

【解析】

（1）①在直角三角形中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再由为中点，得到，确定出三角形为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由,利用即可得证；

②由全等三角形对应角相等得到为直角，，在三角形中，利用勾股定理即可列出关于的函数解析式及定义域；

（2）分两种情况考虑：①当点D在线段上时；②当点D在线段的延长线上时，分别求出三角形面积即可.

(1)①在Rt△ABC中，

∵∠B＝30°，AB＝10，

∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝5，

∵点F是AB的中点，

∴AF＝AB＝5，

∴AC＝AF，

∵△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，∠EAD＝60°，

∵∠CAB＝∠EAD，即∠CAD+∠DAB＝∠FAE+∠DAB，

∴∠CAD＝∠FAE，

在△AEF和△ADC中，

，

∴△AEF≌△ADC(SAS)；

②∵△AEF≌△ADC，

∴∠AFE＝∠C＝90°，EF＝CD＝x，

又∵点F是AB的中点，

∴AE＝BE＝y，

在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2＝25+x2，

∴函数的解析式是，定义域是；

(2)①当点D在线段CB上时，

由∠DAB＝15°，可得∠CAD＝45°，△ADC是等腰直角三角形，

∴AD2＝50，

△ADE的面积为；

②当点D在线段CB的延长线上时，

由∠DAB＝15°，可得∠ADB＝15°，BD＝BA＝10，

∴在Rt△ACD中，勾股定理可得，

△ADE的面积为，

综上所述，△ADE的面积为或．