Question

如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，

(1)试说明△ABC是等腰三角形；

(2)已知S_△ABC＝40cm²，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)，

①若△DMN的边与BC平行，求t的值；

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）①5或6；②9或10或.

【解析】

(1)设BD＝ 2x,AD＝ 3x,CD＝ 4x,则AB＝ 5x ,由勾股定理求出AC,即可得出结论;

(2)由△ABC的面积求出BD、AD、 CD、AC;①当MN∥BC时，AM＝ AN;当DN//BC时,AD＝ AN;得出方程,解方程即可;②根据题意得出当点M在DA上,即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能:如果DE＝ DM;如果ED＝ EM;如果MD＝ ME＝ t－ 4;分别得出方程,解方程即可.

（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，在Rt△ACD中，AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；

（2）S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm，①当MN∥BC时，AM＝ AN，即10－t＝t，∴t＝5；当DN//BC时,AD＝ AN，得t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6；

②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形，当点M在DA上，即4＜t≤10，△MDE为等腰三角形，有3种可能，如果DE＝DM，则t－4＝5，∴t＝9；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；如果MD＝ME＝t－4，则（t－4）2－（t－7）2＝42，∴t＝，综上所述，符合要求的t值为9或10或.