Question

阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．

小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．

解决下列问题：

(1)图2中，AE＝　   　，AB＝　   　；

(2)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．

Answer

(1)、9,12；(2)、b=

【解析】

试题作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，则BE是中垂线，则AB=BD，∠A=∠D，根据三角形内角和得出∠BCA=2∠A，根据题意从而得出AE和EC的长度，根据Rt△BCE和Rt△AEB的勾股定理得出AB的长度；同第一小题的方法得出答案．

试题解析：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，则BE是中垂线

故AB=BD，∠A=∠D．∵3∠A+∠ABC=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°， ∴∠BCA=2∠A，

又∵∠BCA=∠D+∠CBD， ∴∠BCA=∠A+∠CBD=2∠A，则∠CBD=∠A， ∴DC=BC=8，

∴AD=DC+AC=8+10=18， ∴AE=AD=9， ∴EC=AD﹣CD=9﹣8=1．

∴在直角△BCE和直角△AEB中，利用勾股定理得到：BC2﹣CE2=AB2﹣AE2，即82﹣12=AB2﹣92， 解得 AB=12．

（2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，则BE是边AD的中垂线，

故AB=BD，∠A=∠D．①∵3∠A+2∠B=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°，∴2∠A+∠ABC=∠ACB，

∵∠ACB=∠D+∠DBC，∴2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC，∵∠A=∠D，∴∠A+∠ABC=∠DBC，BD=AB=c，

即∠DCB=∠DBC，∴DB=DC=c，设EC=x，∴DE=AE=∴EC=AE﹣AC=﹣b=，

∵BE2=BC2﹣EC2，BE2=AB2﹣AE2，∴a2﹣（）2=c2﹣（）2，解得，b=．