Question

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　）

A. ①②③    B. ①②④    C. ①③④    D. ①②③④

Answer

D

【解析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．

在△ABC中，∵∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°，

又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，

∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，

∴∠APB=135°，故①正确．

∴∠BPD=45°，

又∵PF⊥AD，

∴∠FPB=90°+45°=135°，

∴∠APB=∠FPB，

又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，

∴△ABP≌△FBP，

∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．

在△APH和△FPD中，

∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，

∴△APH≌△FPD，

∴PH=PD，故③正确．

∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，

∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，

∴点P到BC、AC的距离相等，

∴点P在∠ACB的平分线上，

∴CP平分∠ACB，故④正确．

故选：D．