Question

如图，过边长为6cm的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于点D，则DE的长为_____．

Answer

3cm．

【解析】

根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得DE的长，本题得以解决．

作QF⊥AC，交AC的延长线于点F，

则∠QFC=90°，

∵△ABC是等边三角形，PE⊥AC于点E，

∴∠A=∠ACB=60°，∠PEA=90°，

∴∠PEA=∠QFC，

∵∠ACB=∠QCF，

∴∠A=∠QCF，

在△PEA和△QFC中，

，

∴△PEA≌△QFC（AAS），

∴AE=CF，PE=QF，

∵AC=AE+EC=6cm，

∴EF=CF+EC=6cm，

∵∠PED=90°，∠QFD=90°，

∴∠PED=∠QFD，

在△PED和△QFD中，

，

∴△PED≌△QFD（AAS），

∴ED=FD，

∵ED+FD=EF=6cm，

∴DE=3cm，

故答案为：3cm．