Question

如图1，已知过线段AB的两端作直线l₁∥l₂，作同旁内角的平分线交于点E，过点E作直线m分别和直线l₁，1₂交于点D、C．

（1）如图所示，当D、C在AB的同侧，且不与点A、B重合时，求证：AD+BC＝AB．

（2）当D、C在AB的异侧，且不与点A、B重合时，请在备用图上画出直线m，标出点D、C，并在图形下方直接写出AD、BC、AB之间的数量关系．不用说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）BC﹣AD＝AB；AD﹣BC＝AB．

【解析】

（1）延长BE与l1交于F，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠FAE=∠BAD，∠ABE=∠ABC，根据全等三角形的性质得到BE=FE，AB=AF，根据全等三角形的性质得到BC=FD，于是得到AD+BC=AB；

（2）方法同（1）．

（1）证明：延长BE与l1交于F，

∵AE平分∠FAB，EB平分∠ABC，

∴∠BAE＝∠FAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，

∵l1∥l2，

∴∠BAD+∠ABC＝180°，

∴∠BAE+∠ABE＝∠（BAD+∠ABC）＝90°，

∴∠AEB＝90°，

∴∠AEB＝∠AEF＝90°，

在△AEB与△AEF中，

∴△AEB≌△AEF，（ASA），

∴BE＝FE，AB＝AF，

即AD+FD＝AB，

∵l1∥l2，

∴∠CBE＝∠DFE，

在△CBE与△DFE中，，

∴△CBE≌△DFE（ASA），

∴BC＝FD，

∴AD+BC＝AB；

（2）如备用图1，BC﹣AD＝AB；

如备用图2，AD﹣BC＝AB．