Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CP∥AB，在CP上截取CF＝CD，连接BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，BC＝2，求线段CD和BF的长．

Answer

（1）证明见解析（2）4

【解析】

试题（1）连接BD，由AB是直径可得∠BDC=90°，通过证明△BCD≌△BCF，从而得证∠BDC=∠BFC=90°，再根据CP∥AB，从而得∠ABC=90°，即可证明BF是⊙O的切线；

（2）设CD=x，则AD=5－x， 根据勾股定理，，即可求得x值，从而求得BD值，再根据全等三角形的对应边相等即可得.

试题解析：(1)连接BD，

∵ AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，

∵AB=AC，∴∠ABC =∠ACB，

∵CP∥AB，∴∠ABC =∠BCF，∴ ∠ACB=∠BCF ，

由CF=CD，BC=BC，∴△BCD≌△BCF，∴∠BDC=∠BFC=90°，

∵CP∥AB，∴∠ABC=90°，

∴BF是⊙O的切线；

（2）设CD=x，则AD=5－x，

根据勾股定理，，

即，解得x＝2，

∴CD=2，BD=4 ，

由（1）知△BCD≌△BCF ，∴BD=BF=4.