Question

如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE＝DG；（2）如图3，如果α＝45°，AB＝2，AE＝4，求点G到BE的距离．

Answer

（1）证明见解析；（2）点G到BE的距离为．

【解析】

（1）由旋转的性质得到∠BAE=∠DAG，由正方形的性质得到AB=AD，AE=AG，然后依据SAS可证明△ABE≌△ADG，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）连接GE、BG，延长AD交GE与H．当α=45°时，可证明△AHE为等腰直角三角形，然后可求得AH和HE的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到EG=2HE，最后在△BEG中，利用面积法可求得点G到BE的距离．

(1)由旋转的性质可知：∠BAE=∠DAG，由正方形的性质可知：AB=AD，AE=AG.

∵在△ABE和△ADG中,

∴△ABE≌△ADG.

∴BE=DG.

(2)连接GE、BG，延长AD交GE与H.

当时,则

∵

∴

又∵AE=AG，

∴AH⊥GE.

又∵AH⊥AB,

∴△AHE为等腰直角三角形,

∴

∴EG=2EH=8.

∴

设点G到BE的距离为h.

即 ,解得

∴点G到BE的距离为