Question

已知一次函数y=kx+b的图象过P（1，4），Q（4，1）两点，且与x轴交于A点．

（1）求此一次函数的解析式；

（2）求△POQ的面积；

（3）已知点M在x轴上，若使MP+MQ的值最小，

求点M的坐标及MP+MQ的最小值．

Answer

（1）y=-x+5；（2）7.5；（3）点M的坐标为（）.

【解析】

（1）把P（1，4），Q（4，1）代入y=kx+b，利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式；（2）根据一次函数解析式求出点A的坐标，再根据S△POQ=S△POA﹣S△AOQ即可求解；（3）作Q点关于x轴的对称点Q′，连接PQ′交x轴于点M，根据两点之间线段最短得出此时MP+MQ的值最小．利用待定系数法求出直线PQ′的解析式，进而求出点M的坐标即可．

（1）把P（1，4），Q（4，1）代入一次函数解析式，

得：，解得：，

则此一次函数的解析式为y=-x+5；

（2）对于一次函数y=-x+5，

令y=0，得到x=5，

∴A（5，0），

∴S△POQ=S△POA- S△AOQ=；

（3）如图，作Q点关于x轴的对称点Q′，连接PQ′交x轴于点M，则MP+MQ的值最小．

∵Q（4，1），

∴Q′（4，-1）．

设直线PQ′的解析式为y=mx+n．

则，解得，，

∴直线PQ′的解析式为，

∴当y=0时，，解得，，

∴点M的坐标为（）.